Konglens hemmelighet på 1-1-2-3

Entusiastiske realister kan fortelle om hvordan matematikken på fascinerende måter dukker opp i naturen. Kongler kan virke stillfarende og trauste, men med en håndfull av dem kan noen av matematikkens godbiter bæres like inn i klasserommet.

For omtrent 800 år siden viste Leonardo fra Pisa oss hva som skjer hvis du liker å legge sammen to tall, og det plutselig dukker opp en 1-er i den kjedelige rekken av 0-er:

0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – osv.

I tallrekken over er alle tall lik summen av de to foregående. Denne uendelige rekken av tall kalles for Fibonacci-tallene, og Leonardo kan være stolt over å ha funnet på dette. Skjønt, denne æren er tilrøvet: Konglene vi pynter med til jul har kunnet disse
lenge før Leonardo! Faktisk har de selv valgt å bruke disse tallene når de har fikset på utseendet, og de viser seg gjerne fram i norske klasserom: La elevene undersøke hvor mange spiraler de kan finne på konglene, både de som går mot klokka og de som
går med klokka. Hva tror du at de finner ut?

Enten du ser på spiralene i ananas, solsikker eller prestekrager ligger det samme mønsteret og venter som hos konglene: Antallet spiraler i de to ulike retningene viser seg å være to påfølgende tall i Fibonacci-rekken. Og det er ikke verst bare det! For hvis vi ser på forholdet mellom to slike tall, dukker det opp et nytt mønster:

To påfølgende tall i Fibonacci-rekken nærmer seg det gyldne snitt (=1.61803...)

Forholdet mellom to påfølgende tall i Fibonacci-rekken nærmer seg et bestemt tall jo lenger ut i rekken vi kommer: Det gylne snitt. Mye gull og glitter kan forsvares nå før jul, men vi bør få med oss hva som er så veldig gyllent med dette tallet. Det har seg nemlig slik at dette forholdstallet oppfattes som vakkert for oss mennesker. Blant annet er forholdet mellom ulike avstander i menneskekroppen, og særlig i ansiktet, ofte tett opp til det gylne snitt. Fotografer, arkitekter og kunstnere bruker ofte dette forholdstallet til å komponere verkene sine. Og som sagt er det naturen selv som er den hyppigste brukeren av det gylne snitt. At naturen er ordnet slik, er en gave for oss som er glad i det vakre!

For å finne det presise uttrykket for det gylne snitt, skal en avstand A deles i to lengder x og y slik at (x+y)/x = x/y. Om vi lar avstanden A være lik 1, kan vi ved hjelp av andregradsligningen finne fram til den presise definisjonen av det gylne snitt. Og dermed skulle vi være rustet til å lage julekort som er en sann nytelse for øyet;)

Så, enten vi jobber med telling, brøk eller andregradsligninger: Før jul er det mange gode grunner til å ta med seg kongler inn i klasserommet. Og ikke glem etterarbeidet! Det vil både lærere, elever og foreldre kunne sette pris på. Også konglene blir fornøyd: det er en ettertraktet skjebne å ende opp som julepynt. 

Fibonacci spiraler i kongler. Illustrasjon: John R. Simmons, University of Georgia